https://youtu.be/5H7M5Vd3-pk?feature=shared
이번 동영상에서는 조금 더 복잡한 예로 함수의 다른 부분이 다른 기울기를 가지는 경우를 살펴봅시다.
$f(a) = a^2$의 그래프입니다. 여기에서도 $a = 2$인 경우를 살펴봅시다. 그러면 $a^2$, $f(a)$는 4입니다.
$a$를 오른쪽으로 밀어서 $a$가 2.001이 되도록 하면 $f(a)$는 $a^2$이니까 약 4.004입니다. 사실 계산기로 계산해 보면 4.004001이지만, 4.004도 충분히 가까우니까 이렇게 하겠습니다. $a$가 2일 때 $f(a)$는 4이고, $x$와 $y$축의 비율은 신경 쓰지 않겠습니다. 실제로는 세로 높이가 가로 길이보다 훨씬 길어야 합니다. 이제 $a$를 2.001까지 밀면 $f(a)$는 약 4.004가 됩니다. 여기에 삼각형을 다시 그려보죠. $a$를 오른쪽으로 0.001만큼 밀면 $f(a)$는 그것의 네 배인 0.004만큼 증가함을 알 수 있습니다. 미적분의 관점에서 이는 $a = 2$일 때 $f(a)$의 기울기, 미분계수가 4라고 말합니다.
미적분 표기법을 사용하면 $a = 2$일 때, $\frac{d}{da}f(a) = 4$입니다. 이 함수 $a^2$에서는 $a$값이 다르면 기울기도 다릅니다. 지난번에 본 예제와는 차이가 있죠.
그러면 다른 점으로 가봅시다. $a$가 5이면 $a^2$, $f(a)$는 25입니다. 그리고 $a$를 5.001이 되도록 오른쪽으로 아주 조금 밀면 $f(a)$는 약 25.010가 됩니다. 여기서는 $a$를 0.001만큼만 밀어도 $f(a)$는 거의 열 배 증가합니다. 따라서 $a$가 5일 때 $\frac{d}{da}f(a)$는 10입니다. $a$를 살짝 밀었을 때 $f(a)$가 $a$에 비해 열 배나 많이 증가하기 때문입니다.
다른 점마다 미분계수가 다른 이유는, 다른 위치에 이렇게 작은 삼각형을 그려보면 알 수 있습니다. 곡선 위의 다른 위치마다 높이/밑변의 비율이 다 다르죠. 이 경우엔 $a$가 2일 때의 기울기는 4이지만, $a$가 5일 때는 기울기가 10입니다.
미적분 책에서 $\frac{d}{da}f(a)$, $f(a)$는 $a^2$이니까 $\frac{d}{da}a^2$에 대한 공식을 보면 여기 있는 함수 $a^2$의 기울기는 $2a$라고 나와 있습니다. 여기서 증명까지 하진 않겠지만, 미적분 책에서 공식 모음을 찾아보면 $a^2$의 도함수는 $2a$라고 나와 있을 것입니다. 이는 방금 계산한 것들과도 맞아떨어집니다. $a$가 2일 때 함수의 기울기가 $2a$이므로 2 x 2를 하면 4가 나오고, $a$가 5일 때 함수의 기울기가 $2a$이므로 2 x 5를 하면 10이 나옵니다. 언제라도 미적분 책에서 $\frac{d}{da}a^2=2a$라는 공식을 보면, 이는 아무 값 $a$를 아주 작은 값 0.001만큼 밀었을 때 $f(a)$의 값은 $2a$만큼 증가한다는 뜻일 뿐입니다. 기울기 혹은 도함수에 $a$를 민 정도를 곱한 것이죠.
잠깐 짚고 넘어가자면 여기에 근사치를 의미하는 기호 $\approx$를 씁니다. 이것은 정확히 4.004가 아니라 끝에 001이 더 있었습니다. 추가로 붙은 001은 $a$를 0.001만큼 밀었기 때문에 생긴 것입니다. 만약 $a$를 무한소만큼 밀었다면 이 오차는 없어지고, $f(a)$가 증가하는 양은 정확히 도함수에 $a$를 오른쪽으로 민 만큼을 곱한 값과 같습니다. 이것이 정확히 4.004가 아닌 이유는, 도함수의 정의는 $a$를 미는 값으로 0.001이 아니라 무한소를 사용하기 때문입니다. 0.001은 작기는 하지만 무한소는 아닙니다. 그래서 $f(a)$가 증가한 값이 정확히 공식과 같지 않고 근사치인 것입니다.
예제 몇 개만 더 보고 동영상을 마무리하겠습니다.
방금 $f(a) = a^2$이면, 미적분 책에 나오는 공식에 따라 그 도함수는 $2a$라고 했습니다. 그 예제로 $a$가 2이면 $f(a)$는 4이고, $a$를 살짝 크게 만들면 $f(a)$는 약 4.004라는 것을 확인했습니다. $f(a)$는 $a$보다 네 배 증가했죠. 그리고 역시 $a$가 2이면 미분계수는 4가 맞습니다.
그럼 다른 예제를 살펴봅시다. $f(a)$가 $a^3$이라고 해보죠. 미적분 책에서 공식을 찾아보면, 기울기, 그러니까 이 함수의 도함수는 $3a^2$이라고 나와 있을 것입니다. 이것이 무엇을 의미하는지는 이렇게 하면 알아볼 수 있습니다. 다시 $a$가 2일 때를 보면, $f(a)$는 $a^3$이고 $2^3$이 8이므로 8입니다. $a$를 아주 조금 밀면 $f(a)$는 약 8.012입니다. 실제로 계산해 보세요. 값이 8.012와 거의 같을 것입니다. 역시 $a$가 2일 때 $3\times2²$는 12이니까, 도함수의 식은 $a$를 조금 밀면 $f(a)$는 그것의 12배만큼 증가한다고 말하는데, 이것과 맞아떨어집니다. $a$가 0.001 증가하니 $f(a)$는 그 12배인 0.012 증가하였습니다.
마지막으로 예제 하나만 더 보겠습니다. $f(a)$가 로그 함수 $\log(a)$라고 해 봅시다. 밑이 $e$인 로그입니다. $ln(a)$라고 쓰기도 하죠. 미적분 책을 보면 $\log(a)$의 도함수는 이렇게 생긴 함수의 기울기는 $\frac{1}{a}$입니다. 이게 무슨 의미일까요?
아무 $a$의 값에 대해서, 일단 $a$가 2일 때를 살펴보죠. $a$를 오른쪽으로 0.001만큼 움직이면 $f(a)$는 $\frac{1}{a}$만큼 증가합니다. 도함수에 $a$를 증가시킨 만큼을 곱한 것이죠. 계산기로 계산해보면 $a$가 2일 때 $f(a)$는 약 0.69315이고, $a$를 2.001로 증가시키면 $f(a)$는 약 0.69365입니다. 0.0005만큼 증가했죠. 역시나 도함수의 식을 보면 $a$가 2일 때 $\frac{d}{da}f(a)$는 $\frac{1}{2}$이고, 따라서 이 도함수의 식은 $a$를 0.001만큼 증가시켰을 때 $f(a)$는 그것의 절반만 증가한다고 말하고 있고, 0.001의 반은 0.0005입니다. 여기서 구한 것과 맞아 떨어집니다. $a$가 0.001 증가해 2에서 2.001이 되었을 때, $f(a)$는 그것의 절반인 약 0.0005만 증가했습니다. 다시 작은 삼각형을 그려보면, 가로축이 0.001 증가할 때 $\log(a)$는 그것의 반인 0.0005만 증가합니다. 따라서 $\frac{1}{a}$, 이 경우 $\frac{1}{2}$은 $a$가 2일 때 이 선의 기울기입니다.
도함수에 관한 내용은 여기까지입니다. 기억해야 할 것이 두 가지 있습니다.
첫 번째, 함수의 도함수는 함수의 기울기를 의미할 뿐이고, 함수의 기울기는 함수의 위치에 따라 다른 값을 가질 수 있다는 것입니다. 첫 예제였던 $f(a) = 3a$는 직선이었고, 미분계수는 모든 곳에서 3으로 같았습니다. 하지만 $f(a) = a^2$이나 $f(a) = \log(a)$ 같은 경우 선의 기울기가 다르기 때문에, 위치가 달라지면 도함수의 값이 달라집니다.
도함수는 선의 기울기일 뿐이라는 것이 첫 번째이고, 두 번째는 함수의 도함수를 찾아야 할 때, 미적분 관련 책이나 위키피디아를 보면 여러 위치의 기울기에 대한 공식을 찾을 수 있다는 것입니다.
선의 기울기, 도함수에 대한 직관적인 이해를 얻으셨길 바라며, 다음 동영상에서는 계산 그래프를 사용해 더 복잡한 함수의 도함수를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다.
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